Сложные проценты

Капитализация процентов — причисление процентов к сумме вклада, позволяет в дальнейшем осуществлять начисление процентов на проценты путем выполнения двойной операции — выплата процентов и пополнение. Начисление процентов на проценты, используемое в некоторых видах банковских вкладов, или, при наличии долга, проценты, которые включаются в сумму основного долга, и на них также начисляются проценты. То же, что и сложный процент. Проценты по вкладу с капитализацией могут начисляться ежедневно, ежемесячно, ежеквартально и ежегодно. Если их не выплачивают, то прибавляют к сумме вклада. И в следующем периоде проценты будут начислены уже на большую сумму.

Расчет

Общая сумма, которую получит вкладчик, при расчёте по сложному проценту будет равна [math]\displaystyle{ x\cdot(1 + \frac{a}{100})^n }[/math], где [math]\displaystyle{ x }[/math] — начальная сумма вложенных средств, [math]\displaystyle{ a \gt -1 }[/math] — годовая процентная ставка, [math]\displaystyle{ n }[/math] — срок вклада в годах. При вкладе по ставке s% годовых, после первого года хранения капитал составил бы x плюс s% от неё, то есть возрос бы в [math]\displaystyle{ (1 + \frac{s}{100}) }[/math] раза. На второй год s% рассчитывались бы уже не от одной копейки, а от величины, большей её в [math]\displaystyle{ (1 + \frac{s}{100}) }[/math] раза. И, в свою очередь, данная величина увеличилась бы тоже за год в [math]\displaystyle{ (1 + \frac{s}{100}) }[/math] раза. Значит, по сравнению с первичной суммой вклад за два года возрос бы в [math]\displaystyle{ (1 + \frac{s}{100})^2 }[/math] раз. За три года — в [math]\displaystyle{ (1 + \frac{s}{100})^3 }[/math] раз.

К году N первичный вклад вырос бы до величины в [math]\displaystyle{ (1 + \frac{s}{100})^{N} }[/math] раз больше первоначальной.

В применении к ежемесячной капитализации формула сложного процента имеет вид:

[math]\displaystyle{ x\cdot(1 + \frac{s}{12\cdot100})^m }[/math]

где x — начальная сумма вклада, s — годовая ставка в процентах, m — срок вклада в месяцах.

Пример

Хорошей иллюстрацией является «лепта вдовицы» из евангельского рассказа о бедной вдове, на которую обратил внимание учеников Иисус Христос: она оставила в качестве пожертвования на иерусалимский храм последнее, что у неё было, — две самых мелких монеты, лепты. Если представить себе, что некий банк существует с того времени по сей день, всё это время обеспечивая капитализацию процентов по вкладам в сумме, скажем, пять процентов годовых, и лепта этой вдовы была внесена на счёт в этом банке, то какая сумма накопилась бы на этом счёте к сегодняшнему дню?

Последующие расчёты как раз и иллюстрируют применение сложных процентов. Для наглядности будем говорить не о лепте, а о копейке. Если ставка составляет 5 % годовых, то после первого года хранения капитал составил бы копейку плюс 5 % от неё, то есть возрос бы в (1 + 0,05) раза. На второй год 5 % рассчитывались бы уже не от одной копейки, а от величины, большей её в (1 + 0,05) раза. И, в свою очередь, данная величина увеличилась бы тоже за год в (1 + 0,05) раза. Значит, по сравнению с первичной суммой вклад за два года возрос бы в [math]\displaystyle{ (1 + 0,05)^2 }[/math] раз. За три года — в [math]\displaystyle{ (1 + 0,05)^3 }[/math] раз.

К 2022 году первичный вклад вырос бы до величины в [math]\displaystyle{ (1 + 0,05)^{2022} }[/math] раз больше первоначальной. Величина [math]\displaystyle{ (1 + 0,05)^{2022} }[/math] составляет [math]\displaystyle{ 6,99\cdot10^{42} }[/math]. При первоначальном вкладе в одну копейку к 2021 году сумма составит [math]\displaystyle{ 6,99\cdot10^{42} }[/math] копеек, то есть свыше 69 додециллионов рублей.

Первоначальная идея подобного примера принадлежит польскому математику Станиславу Ковалю и опубликована им в начале семидесятых годов в книге «500 математических загадок».

Точная формула для оплаты ежемесячно

Точная формула для ежемесячного платежа

[math]\displaystyle{ C=\frac{Pr}{1-\frac{1}{(1 + r)^n}} }[/math]

с = ежемесячный платёж, P = начальная сумма, r = ежемесячная процентная ставка, n = количество периодов выплат.

Периодическое начисление

Функция суммы сложных процентов является экспоненциальной функцией с точки зрения времени.

[math]\displaystyle{ P(t)=P_0(1 + {r \over n})^{nt} }[/math]

t = общее время в годах

n = число периодов наращения в год

г = номинальная годовая процентная ставка, выражается в виде десятичной дроби. 6 т.д .:% = 0,06

Непрерывное начисление

Пределом [math]\displaystyle{ (1 + {r \over n})^{nt} }[/math] при [math]\displaystyle{ n \rightarrow \infin }[/math] является [math]\displaystyle{ e^{rt} }[/math] (см. E (число)), таким образом, для непрерывного начисления формула принимает вид:

[math]\displaystyle{ P(t) = P_0e^{rt} }[/math]

Мнения

Известный американский инвестор Уоррен Баффет считает сложные проценты неотъемлемой частью любой стратегии долгосрочного инвестирования.

Литература

• Джон К. Халл. Глава 4. Процентные ставки // Опционы, фьючерсы и другие производные финансовые инструменты = Options, Futures and Other Derivatives. — 6-е изд. — М.: «Вильямс», 2007. — С. 133—165. — ISBN 0-13-149908-4.
• Джереми Миллер. Правила инвестирования Уоррена Баффетта = Jeremy Miller: Warren Buffett's Ground Rules: Words of Wisdom from the Partnership Letters of the World's Greatest Investor. — М.: Альпина Паблишер, 2017. — 374 с. — ISBN 978-5-9614-6212-8.
• Нечаев В. М., Яроцкий В. Г. Процент, в экономике и с юридической точки зрения // Энциклопедический словарь Брокгауза и Ефрона : в 86 т. (82 т. и 4 доп.). — СПб., 1890—1907.